“易學”與“數術學”促進了中國“數學”的發展

动之徐生

張延生　2006-5-1

在數學的發展歷史中，一般把希臘式的以論證幾何為主的邏輯演繹體系的數學稱作“西方”或“西方式”的數學，而把以算術、代數和直觀幾何為基本內容的演算法體系的數學，稱之為“東方數學”或“東方起源”。這個“東方”我認為應該指的就是以“中算”為主的中國數學，而不象一般大家通常認為的是指巴比倫或印度數學。

中國傳統的數學是“東方式”數學的典型。由於受“易學象數學”倫理與方法論的影響，這種數學是形（物）與數結合在一起的數學（形象、結構、狀態等與數理、數學處理技術等結合在一起）。它是一種以“算”為主並且還得使用算具、算器的數學。由前面這些要求為依據，它建立起了一套具有中國傳統數學顯著特點的演算法體系。中國傳統數學的實用性，導致並決定了它的發展是以解決實際應用問題和提高計算技術為其主要目的。這種數學，首先，是掌握古算技術，具體說就是掌握“籌算”技術。其次，掌握造“術”的技術。中國傳統數學的定理和演算程式，都是以“術”的形式表現出來，並按照“術”的步驟進行解題。這與古時的統治者推崇、注重《連山》、《歸藏》、《周易》、“易術”等“數術”與其技術及其理學有關。

雖然在一些數學家眼裏認為，“數”與“數學”是人類一種認識世界一切事物的重要工具，人類只有理性地利用它們才能有效地發現事物的條理性與規律性。他（她）們把以上與人類自身命運有關的這些數理規律，則認為是“迷信的宿命論”。我認為他（她）們這種看法是一種糊塗觀念！難到說，我們的數學規律只能運用到一般的自然科學領域，而不適用於社會科學、人類學與醫學等領域嗎？！數學與數學規律只適用於與人類無關的領域及條件下嗎？！知道與人無關的其他事物的規律就是（理性的）科學，知道了人類及人類自身的規律就是“迷信”、“封建迷信”嗎？！因此我們說，這是對生命科學認識的一種片面觀。

动之徐生

在古代“數術”與“術數”一詞基本上是相同的“數術者，皆明堂羲和史蔔之職也”（包括有190多種書籍）、“數術窮天地，製造侔造化”意義。後來“數術”該辭彙基本被“術數”一詞所取代。“術數”之義是指：“政治上的‘權術’、‘策略’、‘治國’之術”以及“運用‘陰陽’‘五行’間生克制化的數理規律，來推斷人事的吉凶”。現在的人們認為主要它是指後面的這種意義。又由於“術數”學是包括哲學、神學、科學、天文學、曆法學、數學、氣象學、醫學、化學、軍事、物候、博物、方術、讖謠、相術、星命、房中、風水、堪輿、擇吉、易學、干支、壬、甲、太乙等學問的一個“大雜燴”，所以很難以給出它一個明確與確定的定義。由於以上的方法都是運用數的處理技術，對數量的推算、測算、推導、推演、演繹、歸納、類比等方法和手段來預測事物的結果，藉以獲得事物的答案及預卜前世與未來等，故屈原在《卜居》中說：“數（方術）有所不逮，神有所不通”。《漢書•律曆志》中說：“數者，一、十、百、千、萬也，所以算數事物，順性命之理也。”《易》“說卦傳”曰：“昔者聖人之作《易》也，幽贊於神明而生蓍，參天兩地而倚數，……和順于道德而理於義，窮理盡性以至於命。”“系辭傳”曰：“凡天地之數，五十又五，此所以成變化而行鬼神也。”“極數知來之謂占”等詞語。這些充滿週期性、排序性、對稱性、嚴密性等的數系關係與規律，很容易引起人們對“數”與“數學”的的崇拜及重視。這也是“易學”與“數術”（“術數”）學在中國古代數學發展史中，所起到的不可磨滅的重要的啟迪與促進作用。

故而我們能因此而知，中國古代傳統數學的發展，是與“數術學”的發展有著不解之緣的。這從中國早期數學的發展及其成為數學學術的角度來衡量，可以說，認為“數術學”完全是封建迷信及其產物的說法，以及“易學”研究中往往一般人輕視“算卦”與“數術”學的思想，從自然科學（數學、物理學等領域）發展的角度來看，這都是一些糊塗觀念。因為“易學”其一，是造成了“象數”觀念的流行，其二，是推動了“組合”數學的開創與發展。其中，“一”者屬於是“數術”學，“二”者是屬於“數學”範疇。在秦九韶所著的《數術九章》一書之序中他說：“今數術之書尚三十餘家，‘天象’、‘曆度’謂之綴術，‘太乙’‘壬’（“六壬”）、‘甲’（“遁甲”）謂之三式，皆曰‘內算’，言其秘也；《九章》所載，即周官‘九數’，系於方圓者為‘叀［豎寫為“一蟲”，“蟲”中的“中”字為“申”字］術’（測量技術），皆曰‘外算’，對內而言也。其用相同，不可岐二。”由此可見，在當時這位大數學家的眼中，我們現今所理解的數學只不過是“數術”中的一類“外算”而已。同時也說明了，中國古代的“數術”與“數學”是很難截然分得開的。比如，從某種程度和意義上講，中國古代時期的“數術”的地位比“數學”的地位還要高，還要受到社會的重視。比如，《漢書•藝文志》記載有“數術”類內容而並沒有收錄《九章算術》的內容，就是一個充分的例證。而在《上緝古算術表》一書中，王孝通稱：“六藝成功，‘數術’參於道化。”如果中國古代沒有“造術”技術（如在中國古代的“算學”中，就有術、開方術、方程術、齊同術、增乘開方術、割圓術、更相減損術、大衍求一術、調日法、拓差術、天元術、四元術等法術）與“數術”技術的發展、普及與評說（如劉徽所著的《九章算術》注等論證了“術”的正確性與某些“術”所存在的問題），就不可能有中國古代數學與演算法在世界數學領域遙遙領先的地位。我們對我國傳統數學的認識，也只能是停留在“當然”而不知其“所以然”的水準之上——使我們失去了我國傳統數學科學技術的某些來源和依據。由此也可以看到“易學”（包括《周易》）、“數術學”及其“方法學”、“理學”等，在中國古代傳統數學的發展中起到了不可忽視的重要作用。

动之徐生

以上所涉及到的一些“法”“術”各有其繁簡的不同，雖然如此，它們卻都有一套機械式的計算程式，這些計算程式差不多都能直接照搬到現代的電腦中來使用。這說明程式化及機械化的普適性思想在“中算家”們的思想（包括著作）中是相當的突出。中國古代數學中的一些重要概念，也往往是從演算法中得到定義或者是由演算法中被推導而來的。比如，負數、互素、虛根、無理方根、最大公約數、率等精髓的概念，基本都是通過相應的演算法而推導出來的。

《易傳》中曰：“極其數，遂定天下之象”；我們平時所說的“在數難逃”；畢達哥拉斯所說的“萬物皆有數”；老子《道德經》中說：“大道無形。……善數者不用籌策”；以及宋朝的沈作吉所著《寓簡》一書的卷二中說：“物之成敗皆寓乎數。知數者以數知之，知道者以道知之，物不能離乎數，數不能離乎道。以數知之則通矣，以道知之則玄矣。”其意思是說，數不離開物，數同樣也離不開道而存在。“數”和“道”是相通的（“數”和“道”在任何的空間中，它們的規律都是不變的），如果以數理運算、推衍得知事物不變的道理，說明通了了事物的規律；假如通過體悟的感知來明瞭“道”，說明知道了事物不變的“玄”的本質。同樣是宋朝的張成行在其所著的《皇極經世•觀物外篇衍義》中說：“……‘氣’不麗乎數，特人不見耳！故曰，非數之不行也，有數而不見也。”這也都說明了“數”及其“數理”是萬物不可分離的自然屬性，它是被人們自然感覺和感知到的客觀存在，而並不是完全靠抽象地想像才造出來的――特別是在人類原始時期的伏羲時期（當時人們還不可能將數與實物分開來進行考慮與分析）。“易數”從上古以來一直承襲了當時的原始思維方式，數始終是依物而對應的，而不會是孤立存在的。這與西方或現代的數學不同。就是因為西方數學在發展過程中，主要是以人為的抽象性為主，往往脫離或忽視了它與物的對應狀態的存在與演化，才造成了西方數學近兩千多年來的三次數學危機的產生。

在“象”“數”的關係中，中國古人認為“數”本身就是“象”的一種屬性；“數”和“象”之間可以互相轉化、滲透與融合的――二者間也是不可隨意而分的統一體。《周易》“系辭上傳”中曰：“參伍以變，錯綜其數，通其變，遂成天地之文；極其數，遂定天下之象”，“極數知來之謂占”。“說卦傳”中還曰：“參天兩地而倚數”。依靠與象［“天3”（包括天1）及“地2”］所對應的數作為設卦、立卦的根據，就是“倚數”的涵義。把“河”“洛”及爻、卦數或卦序數等最基本的基礎數1、2、3及其和數3、5進行“錯綜”（“對”、“反”）之間的不同或相同的組合變化，並且明白其組合變化的內涵道理，才能知道天地間的各種規律。而且，只有計算與歸納到最終極（絕對、“內數”）之數後，才能找到或確立與其數相對應的卦、爻之象，這就是“極其數”的最終的目的。由此看來，“象”與“數”二者之間，在古代聖人們的思想認識中認為：“數”更帶有根本的性質，數與數值的最終的相同或者不同，可以決定“象”之間的差異或共同性。

动之徐生

除此之外：

“象”還有“內象”、“外象”之說，“數有“內數”、“外數”之分。這裏不只是指六爻卦體中的上（外、前）下（內、後）兩卦間的“象”與“象”、“數”與“數”、“象”與“數”和“數”與“象”的關係。

“內象”為不變的“天健也、坤順也、離麗也、震動也、巽入也、坎險也、艮止也、兌說也”等抽象之意之類的“象”；

“外象”為變化的“乾為天、坤為地、離為火、震為雷、巽為風、坎為水、艮為山、兌為澤”或“乾為圓、坤為方、離中虛、震為高、巽為繩直、坎中滿、艮為石、兌為矮”等“大象”及其具體之意之類的“象”。

“內數”指我們所研討的那些各種“進制”中不變的（內層）基礎（包括“序數”）數或方位分佈數。即“河圖”的分佈數和“生”及“成”數；“洛書”與“後天八卦”的分佈數與序數；“先天八卦”、“連山”、“歸藏”中的分佈數和序數等。

“外數”指我們所研討的那些各種“進制”中變化的超過本“進制”中最大的基礎數的（外層）數。即“河圖”中10以上的數（不含10）；“洛書”與“後天八卦分佈”9以上的數（不含9）；“先天八卦”、“連山卦”、“歸藏卦”中8以上的數（不含8）等。

动之徐生

中國古代在一般的數理、數學、數術等計算方法上，又分為“內算”與“外算”兩大類型。

比如，在中國古代的大數學家秦九韶所著的《數術九章》一書的序言中，他說：“今‘數術’之書，尚三十餘家，‘天象’、‘曆度’謂之‘綴術’，‘太乙’、‘壬’、‘甲’謂之三式，皆曰‘內算’，言其秘也；《九章》所載，即周官‘九數’，系於方圓者為‘叀［豎寫為“一蟲”，“蟲”中的“中”字寫為“申”字］術’（即測量方法），皆曰‘外算’，對內而言也。其用相同，不可岐二。”他把“天文”、“曆度”、“曆法”的計算同“數術”中“太乙”、“六壬”、“遁甲”的計算，統稱為“內算”。

“內算”法中包含著事物根本而不變的規律和法則。

而把數學中與“勾股”、“方”、“圓”、“測量”等有關的《數術九章》內的應用數學，稱之為“外算”。

动之徐生

“外算”法包含有根據人們的不同或相同需求和事物間各種變化的規律與法則。

雖然“外算”相對“內算”來說，都有相同的用途，可是二者間是不能同日而語的。也就是說，在古人的眼裏，把研究那些事物的大內含及不變性規律的計算、推演、推導、推理等方法，才認為是根本認識事物的本質的方法，而把研究那些事物的一般內含及其變化性規律的計算、推演、推導、推理等方法，則認為是認識事物的表面與暫時性的方法。通過對事物本質的推導，能知道與明確不同或相同時間條件對應下的事物確定（固定）性規律與狀態，而通過對事物一般性規律與狀態的推算，可以知道不同或相同時間條件下事物臨時、短期或暫時性的對應規律與狀態。因此中國古代的統治者們與聖賢之士們，往往都是首先注重事物的“內算”規律，其次才重視事物的“外算”規律。

從“數”的基本數學概念上來說，大家都知道它是表述一切事物的量的概念。而“數學”在大家的眼裏則認為它是一門研究現實世界的空間形式和數量關係的科學。從數學的角度看，空間形式與結構狀態等也是一種數量關係。也就是說，任何空間都表現為一定數量的線、角、面、體等的不同形式的組合關係。特別是《易》卦、《易》爻、《易》象中的各自本身或與其他二者及二者間的單一或二者共同組合及結構構成的集合或方位分佈狀態，更能反映出這種數量關係與空間狀態、形式等關係。有關這方面的論述，可見我所著的《易與數理――象數易學數學及其應用》一文及《易與和諧》一書中，有關對各易卦、易數、易象的集合、構成，以及各方位分佈結構構成的數理分析與討論。

純數學以現實中的數量關係與空間狀態、形式為其研究物件。中國這種以形、數相結合的古代數學中，包含了豐富的幾何內容（也包括“象形文字”中的幾何構成）。“中算家”們在面積、體積與勾股理論及實際和應用等諸多方面，都取得了卓越的成就。中國古代數學對圖形的研究也表現在對數量的計算上，它會以長度、面積及體積等度量為其主要研究物件，而往往不注重圖形性質與位置關係的研究，甚至就連幾何學也不去研究和討論角的性質與度量等關係。雖然如此，可是幾何物件的度量化，使“中算”中的“以算為主”的特點，仍然得以充份地體現與發揮。而這種“形數結合”的數學方式，突出地表現為幾何方法與代數方法的相互滲透，並使得中國古代數學在理論與應用方面都獲得了很大的成就。比如，比率演算法、高次方程數值解法等，古算術與代數中的許多理論與方法都得到在幾何領域中的廣泛運用。除此而外，中國古代數學中的幾何的原理與方法，還被成功地運用到勾股數的一般公式、開方術等數論、代數等領域。

动之徐生

受“易卦”方位分佈、“河圖”、“洛書”數位分佈及“易卦”爻、位思想的影響，“中算家”們發展出了一套內容極其豐富的“籌式”，它不僅運用籌碼不同的“位”來表示不同的（數）“值”，發明了“十進位值制記數”的方法（早在距現在三千多年前的殷墟甲骨上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的“十進位”的數位方面的記載），還利用“籌”在算板上各種相對位置關係排列成特定的數學模式，用以表述某種類型的實際應用問題。這樣做的結果，必然會將演算物件由“數”（數量）發展到“式”（數量關係）——使數量關係具有了更一般的代數關係——在籌式中的不同的“位”（位置）表示的是不同的（數）“量”；又以不同的位置關係表示特定的數量關係。因此可以說，我國古代的“籌式”本身就具有特殊的代數符號性質與符號系統作用。

由於中國傳統數學主要是“以算為主”的模式，所以這種數學的成果一般都表現為“演算法”的形式而存在。數學問題的模式化和以“籌”為算具的方式，必然會帶來計算方法程式化的特點。受“易學”成卦、卦變、象變、本卦、之卦、變卦等結果與思想及方法的影響，我國在“籌算”的過程中不用運算符號，故而也無須保留中間的運算過程，只是要求通過“籌式”的逐步變換來達到或獲得最終問題的答案和結果，所以各種不同的“籌式”都有它基本的變換法則和固定的演算程式。受天文週期與“易學”中“易簡”、“易圖分佈”及“對卦”、“反卦”、“干支”、“五行”等哲理思想的影響，中國古代的數學家非常善於運用演算中的對稱性、迴圈性（包括重複性）、排序性等特點，並把演算與演算過程的程式設計的相當簡捷而巧妙。特別是受“易學”（包括《周易大傳》）“蓍草成卦法”啟發下所設計出的“大衍求一術”籌算程式，當時已達到了很高的水準。古希臘的數學家是以發現數學的定理為自己的責任，而我國傳統的“中算家”們卻是以創造出精湛的演算法為其目的。故而，有些人就因此而認為抽象性、邏輯性僅僅是希臘論證幾何所具有的特徵，並將數學的理論與邏輯等同起來看待。由於中國式數學與“數術學”均注重于應用，故而有些人故意只把“中算”中的演算法簡單地看作是處理“技術”，從而想從根本上來否定我國傳統數學及“數術學”的理論意義。

动之徐生

由於我國古代傳統數學發展的另一個目的是不斷地提高“中算”的計算技術與技巧，因此提高數位計算的速度與準確性，就成了其重中之重的目標。這中間自然而然的也包含了對算具和演算法的不斷改進。宋朝的沈括在描述當時的天文學家衛樸在使用“算籌”進行計算時，是“運籌如飛，人眼不能逐”的。說明他在運用“籌算”技術時，計算的速度是非常的快的。因為我國人民在很早的年代就已經使用了“十進位”的計數方法，而且還與“籌”具的使用密切相關，這些先進的記數方法與計算器具的使用，使我國在古代的計算技術方面居於世界遙遙領先的地位。在計述“算籌”的規則時，有“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當，滿六以上，五在上方，六不積聚，五不單張”等法則。由此也可以看到中國傳統的“珠算”方法的產生，也是根據“籌算”的原則與方法而發展來的計算工具。由於“籌算”後來發展成了“珠算”，因此自明朝之後，這種新發展來的依賴算器的計算技術，得到了大量的實際運用與充分的發揮。比如：自明朝以後，珠算方法普遍地推廣與普及，又使以數值計算為主的“實用算術”受到了後來曆代數學家的重視，曾一度成為了我國數學發展中的主流。

“寓理於算”和理論高度的精煉，是中國傳統數學理論的重要特徵。這不等於是說中國的古代數學沒有自身的理論體系和沒有使用邏輯的論證。只不過是，我國的傳統數學是以追求實際與實用性為其主要目的。也就是說，它是重“法”而輕“理”的。輕“理”不等於是沒有“理”，否則中國的古代數學成果怎麼可能在世界的數學史上能遙遙領先呢？！只不過是“中算家”們經常是把其依據的算理蘊涵在運算過程的步驟之中了而已。只是“不說自明”、“不證自明”和“不言而喻”罷了。比如，劉徽所著的《九章算術注》中主張“析理以辭，解體用圖”。這裏所說的“辭”，就是指邏輯與邏輯理性的推理過程；“圖”是指圖形及其直觀性分析。他也說的是，在數學的推導過程中，要把邏輯推理與直觀的分析方法有機地結合起來，藉以論證數學結論的真實與確切性。我國傳統的數學及數術學中，都含有豐富的邏輯內容、數學概念和明確的定義。所涉及的推理方法，既有歸納，又有演繹；不但有綜合與分析法，還兼用了反證法。那些認為“在古代中國的數學思想中，最大的缺點是缺少嚴格求證的思想”的人，是缺少根據而忘自非薄才造成的這些誤解。同時，也可以說明，中國的傳統數學是具有自己獨特的理論體系的，並且受“易學”的“易簡”思想的影響，由於是以理論的高度概括與精煉為其特徵，其理又是為了建立在實際或實踐中有直接應用價值的數學方法，因此才架構出了這些最簡單、最精巧的理論構成——雖然它們還沒有形成像歐幾裏得《幾何原本》那樣公理化的完整的演繹體系。儘管如此，我們也不能因此就認為中國古代數學沒有邏輯思維與證明，恰恰相反，中國古代數學與數學家的推理方式與方法是極其豐富多彩的（這從眾多的數學著作與五花八門的數術方法及其著作中都能看到）。同時，觀察、綜合、歸納與簡捷，也是“中算家”們同數術家們具備的另一套推理方法與擅長，而“形”“數”結合與“寓理於算”又是他們必定自覺自願嚴守的職責。

动之徐生

數學的發展從來就是計算與邏輯兩種方法結合使用的。聯繫實際、注重計算是我國古代數學的優良傳統，這也是“象數易學數學”必須遵循和發揚的傳統。中國傳統數學理論在系統性、一般性與嚴謹性方面存在有不足之處，這同樣是“象數易學數學”應認真總結和吸取的教訓。所以我們必須按“象數易學”注重“象”、“數”規律的開發與研究，繼承並繼續發揚“形”與“數”相結合的中國古代傳統數學理論與方法，從新認回到“易學”傳統的以“幾何代數化”或“代數幾何化”這種交互使用的“象數”與“形數”、“物數”結合型的數學模式與方法上來，並進一步深化及豐富邏輯演繹與電腦演算語言和軟體的開發。

古代的數學分為“長與邏輯推理”和“發展計算方法”兩種不同的類型。這也大體上可以代表西方與東方數學的不同特點。有人認為“沒有達到嚴格演繹的知識就不算是科學”。可是，即使是公理化了的嚴格的演繹已經達到了，可是該體系也有可能不能包羅一切。這同樣也是近代數學哲學中最深刻的命題之一。我國的古代數學一貫是從實際需要的實際問題出發，經過一定地分析與提升，將其概括出一般的原則、原理與方法，最終能使它形成我們解決一大類型問題的體系。比如，使用“無窮分割求和”、“出入相補”、“斜解塹堵”、“截面比較”等原理來處理幾何中的求積問題的做法，就體現出了“中算家”們對公理方法的一些認識。雖然，在劉徽的《九章算術注》中，由於受到他本人所作注釋的形式的限制，未能將其中的邏輯結構作充分的擴展，可是也強烈地顯示出了他的演繹推理的傾向。在《測圓海鏡》中的“識別雜記”、《方圓闡幽》中的那十條“當知”裏面，也都體現出了一定的演繹特色。可是在中國古數學中，往往更加多見到的是，推理及其過程是通過直觀、觀察、類比、旁通、綜合、歸納等非演繹的方式來實現的。“中算”對算具的依賴及形成的整套程式化演算法的突出特點，遠遠超過了一般人們認為的古印度數學和中世紀的阿拉伯數學才具有的“以算為主”的特點。我國在計算過程中一直是長期的使用“算籌”和算盤，只不過古印度和中世紀的阿拉伯數學所使用的“土盤”等算具，只是輔助性的工具而已，它們主要的還是以筆算為主。因此它們也沒能形成像我國傳統數學、數術學、象數學這樣：“一貫是與‘硬體’相對應的整套的‘軟體’與‘軟體系統’”——總是形成一整套的軟硬體同時配套的計算方法與過程。

动之徐生

隨著當今電子電腦的大量普及與應用，組合數學與組合學的思想與方法日益地顯示出它的重要作用與需求，當今組合數學與組合學已經成為當代數學非常重要與非常急需的一門學問。而在“易學”象、數（包括“二進位”、數序、排列等）、方位、分佈等，乃至《太玄經》的組合、分佈、數序排列（包括“三進制），還有各種各樣的蔔筮方法與“數術”方法，再加上受陰陽、五行、干支、五色、五音、五運、六氣、六親、六獸、二十八宿、二十四山、十二呂律等思想的啟發下，演變、衍化、推演及發展起來的中國古代象數學、數術學及數學中的組合學，將會給我們提供非常豐富的形形色色的思想與方式、方法。它們的共同特點基本是通過事物的不同排列與組合，來尋找事物間的規律性（包括數理、數學方面的規律）。這種規律性又往往是通過蔔筮之辭或判斷的斷辭、斷語來體現。故而各種“數術”、“易學象數學”、“易學”（包括《周易》）方面軟體的不斷出現與完善，必將為中國今後數學的發展、充實與提高，提供大量值得珍惜的方式、方法、思路、思想等啟示。

寫作本文的目的也是希望我們能從“象數易學數學”這個角度去瞭解、認識中國古代“易學象數學”中的“易數”的一些古代傳統的變化思想及其變換規律，藉以豐富、充實或簡化現代數理模式構成與計算方式，繼承並發揚中國古代某些“象數易學數學”的優秀部分。實際上我們只要知道了“易數”的變化規律與思想方法，就能直接認識並掌握“易象”的變化思想及變化規律。這種“數”與“物”統一在一起的“象數”數理思想與方法，正是現在機械式或電子式電腦演算語言所缺少並目前無法實現的思想與方法。當有機式或生物式電腦出現後，才有可能完全實現此必由之路。